Таксономия: три типа прогрессий
| Система | Тип прогрессии | Правило после убытка | Правило после положит. результата | Рост позиции |
|---|---|---|---|---|
| Мартингейл | Геометрическая | \(s_{t+1} = 2 \cdot s_t\) | \(s_{t+1} = s_0\) (сброс) | \(O(2^k)\) |
| Даламбер | Арифметическая | \(s_{t+1} = s_t + \Delta\) | \(s_{t+1} = \max(s_t - \Delta, s_0)\) | \(O(k)\) |
| Фибоначчи | Рекурсивная | \(s_{t+1} = s_t + s_{t-1}\) | Сдвиг на 2 шага назад по ряду | \(O(\varphi^k), \; \varphi \approx 1{,}618\) |
где \(k\) — число последовательных отрицательных результатов, \(s_0\) — начальный размер позиции, \(\Delta\) — шаг (обычно \(\Delta = s_0\)), \(\varphi = (1 + \sqrt{5})/2\) — золотое сечение.
Система 1: Мартингейл (геометрическая прогрессия)
Механика
После каждого отрицательного результата позиция удваивается. После первого положительного — сброс к \(s_0\). Последовательность позиций при серии из \(k\) убытков:
Суммарные потери за серию из k убытков
Положительный результат на шаге k+1
При равноценных исходах (выплата = 2s) положительный результат на позиции \(2^k s_0\) даёт возврат \(2 \cdot 2^k s_0 = 2^{k+1} s_0\). Чистая прибыль за весь цикл:
Прибыль всегда равна \(s_0\) — но только при условии, что капитал не исчерпан.
Максимальная серия до истощения
| Капитал \(K\) | \(s_0\) | \(k_{\max}\) | \(L_{k_{\max}}\) |
|---|---|---|---|
| 100 у.е. | 1 у.е. | 6 | 63 у.е. |
| 500 у.е. | 1 у.е. | 8 | 255 у.е. |
| 1 000 у.е. | 1 у.е. | 9 | 511 у.е. |
| 100 у.е. | 5 у.е. | 4 | 75 у.е. |
Вероятность истощения за один цикл
Для модели с вероятностью отрицательного результата \(q\) (при равноценных исходах: \(q = 1 - p\)):
При \(q = 0{,}513\) (модель с одним нулевым исходом): \(P = 0{,}513^6 = 1{,}8\%\) при \(K = 100, s_0 = 1\). Кажется малым, но за 100 циклов:
Система 2: Даламбер (арифметическая прогрессия)
Механика
После отрицательного результата позиция увеличивается на \(\Delta\), после положительного — уменьшается на \(\Delta\) (не ниже \(s_0\)). Последовательность при серии из \(k\) убытков:
Суммарные потери
При \(\Delta = s_0\):
Максимальная серия до истощения
| Капитал \(K\) | \(s_0 = \Delta\) | \(k_{\max}\) (Даламбер) | \(k_{\max}\) (Мартингейл) |
|---|---|---|---|
| 100 у.е. | 1 у.е. | 13 | 6 |
| 500 у.е. | 1 у.е. | 31 | 8 |
| 1 000 у.е. | 1 у.е. | 44 | 9 |
Даламбер выдерживает значительно более длинные серии убытков (13 vs 6 при K=100), но скорость компенсации тоже ниже.
Скорость компенсации
Для компенсации серии из \(k\) убытков системе Даламбера необходимо \(m\) положительных результатов. При \(m\) последовательных положительных результатов после серии убытков суммарная позиция снижается арифметически. Число шагов для полной компенсации:
В то время как Мартингейл компенсирует любую серию за 1 шаг: \(m_{\text{Мартингейл}} = 1\). Даламбер требует столько же положительных результатов, сколько было отрицательных.
Система 3: Фибоначчи (рекурсивная прогрессия)
Механика
Позиции следуют ряду Фибоначчи: \(F_1 = 1, F_2 = 1, F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\). При отрицательном результате — шаг вперёд по ряду. При положительном — два шага назад.
Скорость роста
Формула Бине:
Рост экспоненциальный, но медленнее Мартингейла: \(\varphi^k \ll 2^k\).
Суммарные потери
Используя тождество \(\sum_{i=1}^k F_i = F_{k+2} - 1\).
Максимальная серия до истощения
| Капитал \(K\) | \(s_0\) | \(k_{\max}\) (Фибоначчи) | \(k_{\max}\) (Мартингейл) | \(k_{\max}\) (Даламбер) |
|---|---|---|---|---|
| 100 у.е. | 1 у.е. | 10 | 6 | 13 |
| 500 у.е. | 1 у.е. | 14 | 8 | 31 |
| 1 000 у.е. | 1 у.е. | 15 | 9 | 44 |
Фибоначчи — промежуточный вариант: выдерживает больше убытков, чем Мартингейл (10 vs 6), но меньше, чем Даламбер (10 vs 13).
Компенсация: правило двух шагов
Один положительный результат на позиции \(F_n\) компенсирует потери двух предыдущих шагов (\(F_{n-1} + F_{n-2} = F_n\)). Число положительных результатов для полной компенсации серии из \(k\) убытков:
Это быстрее Даламбера (\(m = k\)), но медленнее Мартингейла (\(m = 1\)).
Сравнительный анализ: единая рамка
| Параметр | Мартингейл | Фибоначчи | Даламбер |
|---|---|---|---|
| Рост позиции | \(2^k\) (экспоненциальный) | \(\varphi^k\) (экспоненциальный, медл.) | \(k\) (линейный) |
| Потери за серию \(L_k\) | \(s_0(2^k-1)\) | \(s_0(F_{k+2}-1)\) | \(s_0 k(k+1)/2\) |
| \(k_{\max}\) при K=100 | 6 | 10 | 13 |
| Компенсация за \(m\) шагов | 1 | \(\lceil k/2 \rceil\) | \(k\) |
| Прибыль за цикл | \(s_0\) (фиксирована) | Зависит от \(k\) | Зависит от \(k\) |
| Риск-профиль | Высокий: быстрое истощение | Средний | Низкий: медленное истощение |
| Лимит оператора (макс. позиция) | Критичен при \(k \geq 7{-}8\) | Критичен при \(k \geq 12{-}14\) | Редко достигается |
Теорема об инвариантности ожидания
Для любой системы управления позицией, где \(s_t = f(X_1, \ldots, X_{t-1})\) — размер позиции, определяемый историей результатов:
Поскольку \(E[X_t \mid s_t] = s_t \cdot \text{RTP}\):
Ожидание пропорционально совокупному объёму позиций, а не их последовательности. Прогрессивные системы увеличивают \(\sum E[s_t]\) по сравнению с фиксированной позицией (потому что \(s_t\) возрастает после убытков, которые случаются чаще) → ожидаемые потери при прогрессии выше, чем при фиксированной позиции:
Численное подтверждение
| Система | E[∑sₜ] за 250 событий (s₀=1, q=0,513) | E[потери] при Edge=4% |
|---|---|---|
| Фиксированная позиция | 250 у.е. | 10,0 у.е. |
| Мартингейл | ≈ 340 у.е. | ≈ 13,6 у.е. |
| Фибоначчи | ≈ 300 у.е. | ≈ 12,0 у.е. |
| Даламбер | ≈ 280 у.е. | ≈ 11,2 у.е. |
Прогрессивные системы не только не устраняют отрицательное ожидание — они усиливают его.
Условные распределения: «дьявол в деталях»
Привлекательность прогрессий — в условном результате:
Мартингейл создаёт распределение с высокой вероятностью малой прибыли и малой вероятностью катастрофического убытка:
При K=100, s₀=1: прибыль +1 с вероятностью 98,2%, убыток −63 с вероятностью 1,8%. Математически:
Ожидание отрицательно, несмотря на 98% «успешных» циклов. Подробнее о Мартингейле — Мартингейл и анти-мартингейл.
Обратные (анти-) системы
Каждая прогрессивная система имеет обратный вариант:
| Прямая | Обратная | Правило | Риск-профиль |
|---|---|---|---|
| Мартингейл | Анти-мартингейл (Парлай) | Удвоение после положительного результата | Частые малые убытки, редкие крупные прибыли |
| Даламбер | Анти-Даламбер | +Δ после положительного, −Δ после отрицательного | Умеренная волатильность |
| Фибоначчи | Анти-Фибоначчи | Шаг вперёд при положительном, назад при отрицательном | Промежуточный |
Обратные системы создают зеркальное распределение: частые малые убытки и редкие крупные прибыли. Ожидание остаётся отрицательным по той же теореме.
Лимиты оператора как ограничитель
Все прогрессивные системы ограничены не только капиталом, но и максимальным размером позиции \(s_{\max}\):
Типичный диапазон \(s_{\max}/s_0 = 100{-}500\). Для Мартингейла: \(k_{\max} = 6{-}8\) — серия из 7–9 убытков приводит к невозможности продолжения.
Рекомендации
- Фиксированная позиция превосходит все прогрессии по ожиданию: \(|E[S^{\text{фикс.}}]| < |E[S^{\text{прогр.}}]|\). Прогрессия увеличивает совокупный объём → увеличивает потери.
- Если прогрессия используется (как поведенческий протокол), Даламбер наименее рискован: \(k_{\max} = 13\) vs 6 (Мартингейл) при K=100.
- Обязательные ограничения: stop-loss на сессию, максимальная позиция не более 5% от сессионного капитала, правило 250 позиций (правило 250).
- Не путать частоту прибыли с ожиданием: 98% «прибыльных» циклов не означают положительное ожидание. Редкие катастрофические убытки перевешивают.