1. Пространство исходов и позиции как «активы»
Рассмотрим систему с \(N\) возможными исходами \(\omega_1, \ldots, \omega_N\) и вероятностями \(p_i = P(\omega_i)\). Участник может размещать позиции на непересекающихся подмножествах \(A_1, \ldots, A_m \subseteq \Omega\):
Каждая позиция \(s_k\) на подмножестве \(A_k\) имеет:
- Вероятность реализации: \(q_k = P(A_k) = \sum_{\omega \in A_k} p_\omega\).
- Коэффициент возврата при реализации: \(r_k\) (определяется оператором).
- Доходность: \(R_k = r_k \cdot \mathbb{1}_{A_k} - 1\) (возврат минус вложенное).
Аналогия с портфелем
| Портфельная теория | Стратегия покрытия |
|---|---|
| Актив \(i\) | Подмножество \(A_k\) |
| Вес \(w_i\) | Доля позиции \(s_k / S\), где \(S = \sum s_k\) |
| Доходность \(R_i\) | \(r_k \cdot \mathbb{1}_{A_k} - 1\) |
| Ожидание \(E[R_i]\) | \(q_k \cdot r_k - 1\) |
| Ковариация \(\text{Cov}(R_i, R_j)\) | Жёстко фиксирована структурой \(\Omega\) |
2. Ожидание портфеля: теорема инвариантности
Суммарная доходность портфеля позиций:
Ожидание:
Теорема (инвариантность ожидания): Если коэффициенты \(r_k\) удовлетворяют условию «справедливого» оператора с Edge \(\varepsilon > 0\):
\[ q_k \cdot r_k = 1 - \varepsilon \quad \forall\, k, \]то ожидание портфеля:
\[ E[\Pi] = \sum_{k=1}^{m} s_k \cdot (-\varepsilon) = -\varepsilon \cdot S. \]Ожидание зависит только от суммарного объёма \(S = \sum s_k\), а не от распределения \(\{s_k\}\).
Следствие: никакое распределение позиций по пространству исходов не может изменить ожидаемый результат. При фиксированном \(S\) все стратегии покрытия имеют одинаковый \(E[\Pi] = -\varepsilon S\).
3. Пример: стратегия «широкого покрытия»
Рассмотрим систему с 37 равновероятными исходами (\(p_i = 1/37\)). Популярная стратегия покрытия: распределение \(S = 200\) у.е. по трём подмножествам:
| Подмножество | Размер | Вероятность \(q_k\) | Коэффициент \(r_k\) | Позиция \(s_k\) |
|---|---|---|---|---|
| \(A_1\): исходы 19–36 | 18 | 18/37 = 48,6% | 2 (возврат 1:1) | 140 у.е. |
| \(A_2\): исходы 13–18 | 6 | 6/37 = 16,2% | 6 (возврат 5:1) | 50 у.е. |
| \(A_3\): исход 0 | 1 | 1/37 = 2,7% | 36 (возврат 35:1) | 10 у.е. |
| Непокрытая зона: 1–12 | 12 | 12/37 = 32,4% | — | 0 |
Проверка ожидания
Edge = 5,41/200 = 2,70% — точно такой же, как при одной позиции 200 у.е. на любое подмножество. Теорема подтверждена.
Профиль результатов
| Исход | Вероятность | Результат (P&L) |
|---|---|---|
| Исход в \(A_1\) (19–36) | 48,6% | +140 − 50 − 10 = +80 у.е. |
| Исход в \(A_2\) (13–18) | 16,2% | −140 + 250 − 10 = +100 у.е. |
| Исход в \(A_3\) (0) | 2,7% | −140 − 50 + 350 = +160 у.е. |
| Исход в непокрытой зоне (1–12) | 32,4% | −140 − 50 − 10 = −200 у.е. |
Вероятность положительного результата: 48,6% + 16,2% + 2,7% = 67,6%. Система создаёт иллюзию частых положительных результатов (67,6% событий), маскируя катастрофический убыток (−200 у.е.) с вероятностью 32,4%.
4. Ковариационная матрица: почему диверсификация не работает
В классической портфельной теории диверсификация снижает дисперсию благодаря несовершенной корреляции между активами. В системе взаимоисключающих исходов ковариация жёстко определена:
Поскольку \(A_i \cap A_j = \emptyset\), исходы не могут реализоваться одновременно:
Ковариация:
Корреляция между позициями почти идеально отрицательная (\(\rho \approx -1\)). Это означает: положительный результат одной позиции гарантирует отрицательный результат всех остальных. Диверсификация невозможна — это свойство взаимоисключающих событий.
5. Эффективная граница: дисперсия как единственная переменная
Поскольку \(E[\Pi] = -\varepsilon S\) фиксировано, единственный управляемый параметр — дисперсия:
Два крайних случая
| Стратегия | Покрытие \(q\) | P(положительный) | P&L при реализации | P&L при промахе | Дисперсия |
|---|---|---|---|---|---|
| Узкое покрытие: S на один исход | 1/37 = 2,7% | 2,7% | +35S | −S | Максимальная |
| Широкое покрытие: S на 35 исходов | 35/37 = 94,6% | 94,6% | +S/35 | −S | Минимальная |
| «Стратегия 200»: распределение по 3 зонам | 25/37 = 67,6% | 67,6% | +80 … +160 | −200 | Средняя |
Эффективная граница — кривая \((\sigma^2, E[\Pi])\) при различных распределениях \(\{s_k\}\). Поскольку \(E[\Pi]\) фиксировано, граница — горизонтальная линия на уровне \(-\varepsilon S\). Участник может двигаться только влево-вправо (меньше/больше дисперсии), но не вверх (лучшее ожидание).
6. Прогрессия поверх покрытия: удвоение проблемы
Некоторые стратегии комбинируют покрытие пространства с прогрессивным изменением позиции (Фибоначчи, Мартингейл). Формализуем:
Пусть после \(k\)-й неудачи размер позиции:
При фиксированной стратегии покрытия (например, широкое, \(q = 67{,}6\%\)), вероятность серии из \(k\) неудач:
| \(k\) | \(P(\text{серия} \geq k)\) | \(S_k\) (Мартингейл) | \(S_k\) (Фибоначчи) | Совокупные потери |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 32,4% | 200 | 200 | 200 |
| 2 | 10,5% | 400 | 200 | 400–600 |
| 3 | 3,4% | 800 | 400 | 800–1 400 |
| 4 | 1,1% | 1 600 | 600 | 1 400–3 000 |
| 5 | 0,36% | 3 200 | 1 000 | 2 400–6 200 |
| 6 | 0,11% | 6 400 | 1 600 | 4 000–12 600 |
Фибоначчи растёт медленнее Мартингейла (\(F_k \sim \varphi^k / \sqrt{5}\), \(\varphi \approx 1{,}618\) vs \(2^k\)), но фундаментальная проблема та же:
Прогрессия увеличивает средний совокупный объём → увеличивает абсолютные ожидаемые потери. Подробный анализ — таксономия прогрессивных систем.
7. Асимметрия Edge между моделями
Единственный способ реально улучшить ожидание — выбрать модель с минимальным Edge:
| Модель | Число исходов \(N\) | Edge | Потери при S=200 у.е. |
|---|---|---|---|
| Модель A (один нулевой исход) | 37 | 2,70% | 5,41 у.е./событие |
| Модель B (два нулевых исхода) | 38 | 5,26% | 10,53 у.е./событие |
| Модель C (один нулевой + правило La Partage) | 37 | 1,35% | 2,70 у.е./событие |
Разница между моделью B и C: \(10{,}53 - 2{,}70 = 7{,}83\) у.е./событие — ×3,9. Выбор модели влияет на результат в разы; распределение позиций внутри модели — не влияет на ожидание вовсе.
Сравнение моделей и выбор — покрытие пространства и сравнение моделей.
8. Поведенческий эффект: почему покрытие популярно
Стратегии широкого покрытия создают асимметричный профиль результатов:
- Частые небольшие положительные результаты (67,6% событий).
- Редкие катастрофические отрицательные результаты (32,4%).
Этот профиль эксплуатирует систематическую ошибку восприятия частот: мозг оценивает стратегию по частоте положительных исходов, а не по математическому ожиданию. Подробнее — нейрофизиология дизайна.
Кроме того, «потери замаскированы как победы» (Losses Disguised as Wins, LDW): получение +80 у.е. при вложении 200 у.е. — это убыток в −120 у.е. (если учесть все позиции), но воспринимается как «возврат с прибылью».
Выводы
- Теорема инвариантности: при \(q_k r_k = 1 - \varepsilon\) для всех подмножеств, \(E[\Pi] = -\varepsilon S\) — ожидание не зависит от распределения позиций.
- Ковариация взаимоисключающих исходов ≈ −1 — диверсификация в классическом смысле невозможна. Позиции на разных подмножествах не «хеджируют» друг друга по ожиданию.
- Эффективная граница — горизонтальная линия: участник может управлять только дисперсией (широкое vs узкое покрытие), но не ожиданием.
- Стратегия «200 у.е.» создаёт P(положительный) = 67,6%, но E[P&L] = −5,41 у.е. — как и любая другая аллокация тех же 200 у.е.
- Прогрессия поверх покрытия увеличивает средний оборот → увеличивает абсолютные потери. Фибоначчи растёт как \(\varphi^k\), Мартингейл — как \(2^k\).
- Единственный эффективный параметр — выбор модели: Edge 1,35% vs 5,26% — разница ×3,9. Распределение позиций внутри модели — нулевой эффект на ожидание.