Базовая модель симуляции капитала
Представим простую вероятностную модель: в каждом раунде с вероятностью \( p \) наступает успех, а с вероятностью \( (1-p) \) — неудача. При успехе капитал растёт на долю \( b \) от поставленной доли, при неудаче — уменьшается на эту же долю. Математика бинарных исходов подробно описана в статье о математическом ожидании.
\( K_0 \) — начальный капитал,
\( p \) — вероятность успеха,
\( b \) — коэффициент выплаты при успехе,
\( f \) — доля капитала на одну позицию,
\( N \) — число событий в одной серии,
\( M \) — число симуляций.
Рекуррентное правило обновления:
Математическое ожидание одного шага положительно только если \( p \cdot (1 + f \cdot b) + (1-p) \cdot (1 - f) > 1 \), то есть при \( E(X) > 0 \).
Метод Монте-Карло: многократные траектории
Ключевая идея — запустить симуляцию не один раз, а многие тысячи раз. Статистический разброс при \( M \geq 10\,000 \) становится предсказуемым.
Стандартная ошибка среднего падает как:
где \( M \) симуляций даёт выборочное среднее: чем больше симуляций, тем ближе оценка к истинному ожиданию. Для надёжных выводов о хвостах распределения лучше использовать ещё больше симуляций.
Как параметры влияют на результат
При справедливом процессе (\( p = 0{,}5 \), \( b = 1 \)) математическое ожидание нулевое и математически обоснованная доля \( f^* = 0 \). Любая ненулевая доля ведёт к разорению при достаточно длинной серии.
При положительном ожидании (\( p = 0{,}55 \), \( b = 1 \)) оптимальная доля около \( f^* \approx 0{,}10 \). Увеличение \( f \) выше оптимальной резко повышает риск разорения.
Высоковолатильные процессы дают широкий разброс траекторий. Медиана и среднее конечного капитала могут сильно расходиться. Подробнее о связи волатильности и капитала — в статье Классы волатильности и риск-профили.
| Доля \( f \) | Медиана \( K_N \) | Среднее \( K_N \) | Вероятность разорения, % | Типичная MaxDD, % |
|---|---|---|---|---|
| 0,02 | 1 220 | 1 280 | 0,1 | 12 |
| 0,05 | 1 640 | 2 050 | 0,8 | 25 |
| 0,10 | 2 460 | 5 100 | 4,2 | 42 |
| 0,20 | 980 | 12 400 | 22,5 | 68 |
| 0,50 | 8 | 45 000 | 87,3 | 96 |
При \( f = 0{,}50 \) среднее конечного капитала 45 000, но медиана всего 8 — большинство траекторий заканчиваются разорением, а редкие «счастливые» серии сильно завышают среднее.
Интерпретация и чувствительность к параметрам
Результаты симуляции зависят от заданных \( p \), математического ожидания и коэффициента выплаты \( b \). В реальных системах эти параметры часто неизвестны.
Чувствительность к вероятности
При изменении \( p \) на \( \pm 0{,}01 \) итоги могут существенно меняться, особенно вблизи границы положительного ожидания. Стоит варьировать параметры в разумных пределах и оценивать устойчивость выводов, а не полагаться на точные значения.
Практические рекомендации по симуляциям
- Достаточное число траекторий. Минимум \( M = 10\,000 \); для хвостов — до \( M = 100\,000 \).
- Вариация параметров. Запускайте симуляции при разных комбинациях \( (p, b, f) \).
- Фокус на хвостах. Для оценки риска разорения важны крайние сценарии.
- Сравнение с аналитикой. Сверяйте симуляции с формулой разорения и критерием Келли.
- Логарифмический рост. Следите за геометрическим средним: \( g = p \cdot \ln(1 + f \cdot b) + (1 - p) \cdot \ln(1 - f) \).
Важно: ограничения модели
Симуляции основаны на упрощённых допущениях. Реальные системы могут иметь зависимости между событиями, нестационарность и иные свойства. Никакая симуляция не заменяет понимание рисков.