Схема Бернулли
Схема Бернулли — последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны только два исхода: «успех» с вероятностью \(p\) и «неудача» с вероятностью \(1-p\). Независимость означает, что результат каждого испытания не зависит от предыдущих. Подробнее об механике независимых событий.
Формула Бернулли
Вероятность получить ровно \(k\) успехов в \(n\) испытаниях вычисляется по формуле: \(P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\), где \(C_n^k\) — число сочетаний. Например, при \(n=10\), \(p=0.5\) вероятность ровно 5 успехов — около 24,6%. Математическое ожидание числа успехов: \(E = np\); дисперсия: \(\sigma^2 = np(1-p)\).
Биномиальное распределение
Совокупность вероятностей \(P(0), P(1), \ldots, P(n)\) образует биномиальное распределение. Оно симметрично при \(p=0.5\) и асимметрично при иных значениях. Для больших \(n\) биномиальное распределение приближается к нормальному — это следствие центральной предельной теоремы.
Практическое применение
Модель Бернулли лежит в основе оценки серий «удач» и «неудач» в случайных процессах. Она объясняет, почему длинные серии одного исхода естественны даже при честной монете, и помогает не переоценивать «закономерности» в случайных данных. См. также кластерную иллюзию и психологию серий.
Важно
Материал образовательный. Принятие решений в условиях случайности сопряжено с рисками.