Когда применимо распределение Пуассона
Пуассон подходит, когда: (1) события происходят независимо; (2) средняя частота λ постоянна; (3) вероятность двух событий в один момент пренебрежимо мала. Пример: сколько раз за 1000 испытаний произойдёт «редкий» исход с вероятностью 0,01? Ожидаемое число — λ = 1000 × 0,01 = 10. Распределение даёт вероятности P(k) для k = 0, 1, 2, … См. Механика независимых событий.
Формула и свойства
Вероятность ровно k событий при параметре λ: P(k) = λ^k × e^(-λ) / k!. Математическое ожидание и дисперсия равны λ. Распределение асимметрично при малом λ и приближается к нормальному при большом λ. Это полезно для оценки «засух» (серий без редкого исхода) — см. Кластерная иллюзия в IID-системах.
Применение к бонусным триггерам
Если вероятность активации бонусного режима, например, 1/100, то за 200 событий ожидаемое число активаций — 2. Пуассон даёт P(0) ≈ 0,135 (около 13,5% шанс ни одной активации). Это объясняет, почему «долгое ожидание» бонуса — нормально, а не признак «нечестности». Подробнее — Кластерная механика и триггеры бонусов.
Связь с другими распределениями
Пуассон — предельный случай биномиального при большом n и малом p (λ = np). При моделировании «кластеризации» результатов в случайных сериях лемма Пуассона описывает группировку независимых событий. См. Формула Бернулли и биномиальное распределение.
Важно
Материал образовательный. Распределение Пуассона — математическая модель; в реальных системах параметры могут отличаться.