Арифметическое vs геометрическое среднее
Арифметическое среднее доходностей (+10% и −10% дают среднее 0%) может вводить в заблуждение. Реальный результат за два шага: 1,1 × 0,9 = 0,99 — потеря 1%. Геометрическое среднее множителей: √(1,1 × 0,9) = √0,99 ≈ 0,995 — отражает «средний» множитель за шаг. При отрицательном ожидании геометрическое среднее < 1 — капитал в среднем уменьшается. См. Математическое ожидание.
Связь с критерием Келли
Критерий Келли максимизирует геометрическое среднее (темп роста капитала) при заданных вероятностях и выплатах. При отрицательном ожидании оптимальная доля Келли отрицательна — участник не должен участвовать. Полный Келли даёт максимальный долгосрочный рост, но высокую волатильность; дробный Келли (половинный и т.д.) снижает дисперсию. Подробнее — Критерий Келли: простой гайд и Дробный критерий Келли.
Практический вывод
При оценке стратегии смотрите на геометрическое среднее множителей, а не на среднюю доходность. При отрицательном мат. ожидании геометрическое среднее всегда меньше 1 — стратегия в долгосрочном периоде убыточна. См. Среднее vs медиана результатов и Распределение финансовых результатов.
Пример с процентами
Серия: +20%, −15%, +10%, −5%. Множители: 1,2; 0,85; 1,1; 0,95. Произведение = 1,07 — общий рост 7%. Геометрическое среднее = (1,07)^(1/4) ≈ 1,017 — «средний» рост около 1,7% за шаг. Арифметическое среднее доходностей = 2,5% — завышает ожидания.
Важно
Материал образовательный. При отрицательном ожидании геометрическое среднее < 1. Решения в условиях неопределённости сопряжены с рисками.